Летняя школа 2024

Фото: Павел Ососов

28 октября 2019 г. «Пресс-изба»

Наука о пицце, рельсах и белых ночах

Кто бы мог подумать, математика применима в реальной жизни! Мы сделали для вас подборку неочевидных примеров того, как школьная программа позволяет решать прикладные задачи.

Материал основан на лекции III цикла ЛШ-2019, которую прочитал заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН Николай Андреев, автор книги «Математическая составляющая». Иллюстрации взяты из книги «Математическая составляющая».

Теорема Пифагора. Как далеко вы видите?

Начнем с простых вещей. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или Пифагоровы штаны во все стороны равны (геометрическую интерпретацию можно посмотреть здесь). Куда их пристроить, кроме школьных задач?

Представьте, что вы днем вышли в поле. Как далеко от вас находится линия горизонта?

Пусть в нашей модели Земля будет сферой. В таком случае ничего кроме теоремы Пифагора и не нужно. Один катет — радиус Земли R (пунктир), другой — расстояние до горизонта d (красная линия), гипотенуза — сумма радиуса Земли и вашего роста h.

Получаем d = √(R+h)²-R²=√2Rh+h².

Квадратом h можно пренебречь, потому что эта величина гораздо меньше, чем второе слагаемое. В итоге расстояние примерно равно d = √2Rh. Для человека ростом 1,6 метра (а радиус Земли — 6 371 км) d будет равно примерно 4,5 км.

Градус. Что такое белые ночи?

Когда солнце заходит за горизонт, наступают сумерки. Они делятся на три периода:

1. Гражданские сумерки: центр Солнца опустился за горизонт меньше, чем на 6°. Вы можете делать все, для чего не требуется яркий дневной свет (например, читать в поле книгу).

2. Навигационные сумерки: центр Солнца опустился за горизонт на угол от 6° до 12°. Уже не различаются цвета, мелкие объекты, но очертания (берег, здания) вы можете видеть.

3. Астрономические сумерки: центр Солнца опустился за горизонт на угол от 12° до 18°. Уже видны звезды.

4. Ночь: центр Солнца ниже уровня горизонта больше, чем на 18°.

Белые ночи — это ситуация, при которой вечерние гражданские сумерки переходят сразу в утренние. Если вы от широты полярного круга (± 66°33′44″) отнимете 6°, получите широты, на которых бывают белые ночи. (Для справки: Санкт-Петербург расположен на 59°57′ с. ш., поэтому формально там белых ночей нет).

Цилиндр. Как правильно есть пиццу?

Скрутив ее в цилиндр. Тогда ваш кусочек никогда не изогнется вниз, как в «Черепашках-ниндзя», начинка не свалится на стол или, что еще хуже, к вам на штаны. Такой исход не вписывается в правила геометрии.

Дело в том, что каждая поверхность характеризуется гауссовой кривизной — величиной, равной произведению максимальной и минимальной кривизны.

Иллюстрация

Чтобы понять, что это такое, представьте себе участок кривой как дугу некоторой окружности. Величина, обратная радиусу этой окружности, и будет кривизной. Например, прямой соответствует дуга окружности с радиусом, равным бесконечности, соответственно, кривизна в любой точке прямой равна нулю. Получить гауссову кривизну можно, если вы пробежитесь по всей поверхности и найдете точки, где кривизна минимальна, где максимальна, и перемножите найденные значения. Например, для сферы гауссова кривизна равна 1/R² , где R — радиус сферы.

Для цилиндра и седловой поверхности (которую можно принять как модель изогнувшегося куска пиццы) она постоянна: для цилиндра — ноль, для «седла» — отрицательное число.

Так вот, по своим свойствам эта самая гауссова кривизна не изменяется при изопериметрических изгибаниях (т. е. при которых длина любого выбранного отрезка не меняется). Поэтому, если нет никаких деформаций, то ваша пицца никогда из конуса не станет седлом, потому что Гаусс такие вещи давным-давно запретил.

Пропорции. В чем сакральный смысл стандартных размеров бумаги?

Каково соотношение сторон на листе А4? Важное наблюдение: если сложить или разрезать его пополам, то соотношение не изменится. Это нужно для того, чтобы было удобно масштабировать изображения с одного формата на другой. То есть прямоугольники-листы должны быть подобными. Решив простую задачу на пропорции с учетом этого условия, получим, что a:b = √2:1 (√2≈1,41).

И эти соотношения оказываются полезными. Вы стоите у ксерокса и хотите скопировать листочек формата А4 на формат А3, гадая, во сколько раз нужно увеличить изображение? Смотрите на выражение выше, и гадать больше не приходится — √2, то есть новый масштаб будет 141%. А если на формат А5? Уменьшаем в 1/√2 раз или до масштаба 70,5%, потому что 1/√2 = √2/2≈0,705.

«Вот вам пример того, что математика позволяет не тыкать бездумно в ксерокс, а сразу давать наилучший ответ», — комментирует Николай Андреев.

Алгоритмы. Как считает калькулятор?

О том, как перемножить два числа, долго размышлять не приходится: пишешь в столбик и умножаешь. Так делали до 60-х годов XX века, а потом Антон Алексеевич Карацуба придумал гораздо более эффективный способ. Сейчас его метод умножения применяется во всех компьютерах, потому что существенно ускоряет вычисления.

Метод основан на том, чтобы разложить число на составляющие и одну операцию умножения заменить сложением. Тем самым сложность вычислений уменьшится.

«И вот смотрите, задача, казалось бы, совершенно тривиальная — простое умножение. Тем не менее в середине XX века был сделан большой прорыв. Я к чему? Если вы будете понимать, как ваш iPhone делает все это внутри, то, может быть, вы сможете сделать больше, чем просто тупо нажимать на эти клавиши», — заметил Николай Андреев.

Возьмем более мозголомательную задачу — извлечь корень из какого-нибудь страшного числа, а? Решение задается следующим алгоритмом:

Где х0 — любое положительное число. Последовательность таких чисел достаточно быстро сходится к √а.

Конусы. Почему поезда не соскальзывают с рельсов при повороте?

Давайте покатаемся на метро. Или на электричке в Дубну. На самом деле, для нашей задачи это одно и то же, потому что по стратегическим соображениям железнодорожные колеса устроены одинаково. Вопрос в том, как поворачивать поезда.

На поворотах радиус внешнего рельса больше, чем радиус внутреннего. Поэтому соответствующие колеса проходят разные пути, ведь нет устройств, которые позволяли бы вращаться им с разными угловыми скоростями. Чтобы устранить эту разницу, колеса делают конусообразными.

«На прямолинейном участке пути такая колесная пара ведет себя как цилиндрическая, а на повороте — смещается относительно железнодорожного полотна. В результате внутреннее колесо будет иметь меньший «реальный» радиус, чем внешнее. Смещение и вызванное им изменение радиусов колес обеспечивают согласованность длин пройденных путей», — сказано в «Математической составляющей».

В противном случае, если бы радиусы не менялись при повороте, поезд бы проскальзывал, и рельсы быстро стирались. (Подробнее можно посмотреть здесь).

Нормальные числа. Можно ли найти свою дату рождения в записи числа π?

Поговорим о нерешенных вопросах математики. Например, найдется ли число, в десятичной записи которого встретится любая конечная последовательность цифр (такое число называют «нормальным»)? Искусственно выполнить эту задачу просто: сначала выписываются все однозначные числа, потом двузначные, трехзначные и т. д. Просто, но долго — неразумно. Что насчет уже имеющихся у нас в распоряжении чисел?

Существует гипотеза, что таковым может быть π, однако его «нормальность» до сих пор остается одним из нерешенных вопросов. Поэкспериментировать с его удивительными свойствами вы можете здесь. Однако для строгого доказательства требуется нечто большее, чем обычный перебор.

Статистика. Как браузерный переводчик определяет язык?

Представьте, что вы — Google Переводчик и вам нужно опознать язык, на котором написано следующее выражение:

При все че математичка е строга наука,

Тя има и естетическа страна (болгарский)

Алфавитный подход (определять язык по используемым буквам) не работает, потому что болгарский похож на ряд других славянских языков. Поэтому паспортом языка считается частотность звуков (то, как часто звуки встречаются в речи носителя). Для русского языка статистика набирается из Национального корпуса русского языка.

Для анализа текст представляют некоторой моделью. Самая простейшая: текст — последовательность букв, в которой неизвестно, какой символ будет следующим. В зависимости от задачи, такой подход может быть быстрым и эффективным, но он дает неверный результат, например, при анализе коротких текстов: вероятность того, что название книги «Математическая составляющая» написано на болгарском при использовании указанной модели — 51,55%, русский — 40,75%, украинский — 7,2%.

Тогда можно усложнить модель до «цепей Маркова» — последовательности случайных событий с конечным числом исходов. Их отличительная черта — если вы рассматриваете некоторый момент в этой последовательности, будущие элементы не зависят от того, что было в прошлом. Например, вы сейчас хотите спать, и существует два исхода с разным соотношением вероятности: заснуть через 2 часа или через полчаса. Когда один из них все-таки случится, следующие исходы и их вероятности не зависят от того, что вы когда-то хотели спать, но лишь от того, сколько часов вы проспали.

История данной модели такова: в начале XX века Андрей Андреевич Марков изучил первые 20 тыс. знаков в «Евгение Онегине», посчитав сначала, сколько гласных, сколько согласных в тексте. Потом — каковы вероятности встретить сочетания «гласная-гласная» и «согласная-согласная». Потом — вероятности для конкретных слогов:_М, МА, ТЕ, ЕМ и т. д. С помощью таких соотношений определяется язык в марковской модели. Решая нашу задачу таким способом, получаем, что название книги написано на русском с вероятностью 99%.

Аналогично работает Т9. Есть три типовые ошибки, которые совершаются при наборе: не та буква, не в том порядке, пропустили или набрали лишнюю. Простой способ — в Корпусе посмотреть слова, которые отстоят от слова с ошибкой на одну такую операцию, и взять из них самое часто встречающееся. Более разумный — использовать цепь Маркова, только уже для слов в предложении.

О других примерах вы можете узнать на сайте «Математические этюды» или в книге «Математическая составляющая». А можно, кстати, просто приглядеться к тому, что вокруг, и, заметив, что Шуховская башня построена в форме гиперболоида вращения, а спутниковые антенны похожи на параболы, Земля не шар, но проецируется на глобус и цилиндр (развертка цилиндра — прямоугольник), ответить себе на вопрос, почему так. И в помощь вам будет тоже математика.

Текст: Елена Трухан

Корректура: Мария Евсина

Редактура: Андрей Ромашков